如图.已知二次函数y=ax2-6ax-16a的图象与y轴交于点A.与x轴交于B.C两点.其对称轴与x轴交于点D.连接AC．(1)①线段BC的长为10,②点A的坐标为．(2)设M是抛物线的对称轴上的一点.以点A.C.M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形?若能.求出a的值, 若不能.请说明理由．(3)若a=-$\frac{1}{4}$.点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图，已知二次函数y=ax²-6ax-16a（a＜0）的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）①线段BC的长为10；②点A的坐标为（0，-16a）（用a的代数式表示）．
（2）设M是抛物线的对称轴上的一点，以点A、C、M为顶点的三角形能否成为以AC为斜边且有一个锐角是30°的直角三角形？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．
（3）若a=-$\frac{1}{4}$，点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

分析（1）①根据坐标轴上点的特点和韦达定理，求出BC，②根据y轴上点的特点，令x=0求出y即可；
（2）作出辅助线得到△AEM∽△MCF，再分两种情况①当点M在AC上方时，分两种情况Ⅰ、当∠ACM=30°时和Ⅱ、当∠CAM=30°，②当点M在AC下方时，和①一样分两种情况，讨论计算，
（3）先设出P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），得到Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．分两种情况讨论计算．

解答解：（1）①∵二次函数y=ax²-6ax-16a（a＜0）与x轴交于B、C两点，
令y=0，得ax²-6ax-16a=0，
∴BC=|x₁-x₂|=10，
故答案为10，
②令x=0，得y=-16a
∴A（0，-16a）
故答案为（0，-16a）．
（2）∵∠AMC=90°
①如图，

当点M在AC上方时，过点M作直线ME∥x轴，过点C作直线CF∥y轴交ME于点F，
∴OA=-16a，ME=3，FM=5，△AEM∽△MCF
（Ⅰ）当∠ACM=30°时，tan30°=$\frac{AM}{MC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵△AEM∽△MCF，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3}{CF}=\frac{AM}{CM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，CF=3$\sqrt{3}$，
∵OE=CF，
∴-16a+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$；
（Ⅱ）当∠CAM=30°时，cot30°=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∵△AEM∽△MCF，
∴$\frac{AE}{5}$=$\frac{3}{CF}$=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=5$\sqrt{3}$，CF=$\sqrt{3}$，
∴AE＞CF，
这与图中题设AE＜CF矛盾，所以这种情况不存在．
②如图，

当点M在AC下方时，过点M作直线MG∥x轴，过点C作直线CH∥y轴交MG于点H，易得OA=-16a，MG=3，MH=5，△AGM∽△MHC
（Ⅰ）当∠MAC=30°时，cot30°=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∵△AGM∽△MHC，
∴$\frac{AG}{5}$=$\frac{3}{CH}$=$\frac{AM}{MC}$=$\sqrt{3}$，
∴AG=5$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{3}$，
∵OG=CH，
∴5$\sqrt{3}$-（-16a）=$\sqrt{3}$，
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
（Ⅱ）当∠ACM=30°时，tan30°=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵△AGM∽△MHC，
∴$\frac{AG}{5}$=$\frac{3}{CH}$=$\frac{AM}{MC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AG=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，CH=3$\sqrt{3}$
∴AG＜CH，这与图中题设AG＞CH矛盾，所以这种情况不存在．
∴a的值为-$\frac{\sqrt{3}}{12}$或-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）∵a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴A（0，4），C（8，0），
∴直线AC对应的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
如图，

过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q．
设P（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），则Q（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①当-2＜m＜0时，点P在x轴上方部分只一个交点
PQ=（-$\frac{1}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-2m，
∴S=S_△CPQ-S_△APQ=（m-4）²-16，
∴0＜S＜20．
∵A（0，4），B（-2，0），C（8，0），
∴AB²+AC²=20+80=100=BC²，
∴∠BAC=90°
当点P和点B重合时，S_最大=$\frac{1}{2}$×AC×AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=20，
即：点P的横坐标-2＜m＜0时，点P在x轴上方部分只一个交点．
∵所得△PAC的面积为S，相应的点P有且只有2个，
∴点P横坐标在0＜m＜8时，只能有一个，
②如图，当0＜m＜8时，只有如图所示的位置时，直线PE和抛物线只有一个交点

PQ=（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）-（-$\frac{1}{2}$m+4）=-$\frac{1}{4}$m²+2m，
∴S=S_△APQ+S_△PQC=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$m²+2m）=-（m-4）²+16，
∴0＜S≤16；
∵点P的横坐标在-2＜m＜0，面积在0＜S＜20范围内，点P在抛物线上始终存在一个点，
∴点P的横坐标在0＜m＜8，面积在0＜S≤16范围内，点P在抛物线上有且只有一个，
故S=16时，相应的点P有且只有两个．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了韦达定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，面积的计算，解本题的关键是三角形相似的判定．

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A．

1-$\sqrt{2}$

B．

-1

C．

1±$\sqrt{2}$

D．

1$±\sqrt{2}$或-1

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9．