Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，F为线段BE上任意一点，将线段EF绕点E逆时针旋转90°，得到线段EG.

（1）按请按要求补全图形：连接BG过点G作GH⊥BG，交对角线AC于点H，连接DH；

（2）判断DH与GH的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论：DH＝GH．理由见解析.

【解析】

（1）根据要求画出图形即可．

（2）结论：DH＝GH．如图2中，连接BD交AC于O，连接BH，OG．想办法证明△BGH是等腰直角三角形，DH＝BH即可解决问题．

（1）如图1所示：

（2）结论：DH＝GH．

理由：如图2中，连接BD交AC于O，连接BH，OG．

∵AE＝EB，GE⊥AB，

∴GE是AB的垂直平分线，

∴点E，G，O共线，

∵AE＝EB，AO＝OC，

∴EO∥BC，

∴∠EOB＝∠OBC＝45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BOH＝∠BGH＝90°，

∴B，G，O，H四点共圆，

∴∠GOB＝∠GHB＝45°，

∴△BGH是等腰直角三角形，

∴BH＝GH，

在△AHB和△AHD中，

∴△AHB≌△AHD（SAS），

∴DH＝BH，

∴DH＝GH．