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已知,如图:在平面直角坐标系中,O是坐标原点,△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,2),B(-3,0),C(3,0),直线AC与反比例函数y=在第一象限内的图象相交于A,M两点.
(1)求反比例函数y=的解析式;
(2)连接BM交AO于点N,求证:N是△ABC的重心;
(3)在直线AC上是否存在一点P使△BPO的周长L取得最小值?若存在,求出L的最小值并证明;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:本题是一次函数和反比例函数以及三角形的重心、轴对称相结合的一道综合试题.要求反比例函数的解析式,而点A图象上,将其坐标代入即可;要求点N是三角形的重心.由已知B、C的坐标可知O是BC的中点.只要求出M是AC的中点就可,可以求出AC的解析式,利用反比例函数和一次函数的解析式求出M点的坐标,过点A、M作x轴的垂线于D、C.求出D、C的坐标从而求出DC、EC的长,由相似得到M是AC的中点,得N是重心;利用轴对称找到O点关于AC的对称点O|,作其x轴的垂线,连接CO|,由三角函数求出∠ACD、∠ACO|,的度数,求出O|,的长度在加上BO的长度就是L的最小值.
解答:解:(满分12分)(1)点A在y=的图象上,∴2=k=2(2分)
∴y=

(2)设经过A、C的直线的表达式为y=k1x+b由A(1,2),C(3,0),(4分)(各1分)
∴经过AC的直线的表达式为y=-x+3
∵直线AC与y=的图象交点为M,且k=2
∴直线y=-x+3与双曲线y=在M点的纵坐标相等,
=-x+3,(5分)
解得:x=1或x=2,经检验都是原方程的根
∴A(1,2)和M(2,)(6分)
过A作垂线段AD⊥BC,垂足为D,则D(1,0)∴DC=2
过M作垂线段ME⊥BC,垂足为E,则E(2,0)∴EC=1
易证△CME∽△CAD,∴==,∴CM=CA,M是AC中点,BM是△ABC的中线
又B(-3,0),C(3,0),∴O是BC中点,AO是△ABC的中线,∴N是△ABC的重心(7分)

(3)过O作直线AC的对称点O′,连接BO′交AC于P,
连接BP,PO,则△BPO周长最小.(9分)
证明:∵O和O′关于直线AC对称,∴PO=PO′,∴BP+OP=BO′
在直线AC上任取异于P的点P′,连接BP′,OP′,P′O′,
则BP′+OP′=BP′+P′O′>BO′,(10分)
∴BO′是BP+OP的最小值.又BO是定值,
∴此时△BPO周长L最小.
O、O′关于直线AC对称,∴△CPO≌△CPO′
OC=CO′=3,又AD=2,DC=2,
∴tan∠ACD===
∴∠ACD=60°,∴∠PCO'=∠ACD=60°,
∴CQ=1.5,QO′=
又BQ=BC+CQ=6+=7

∴最小值L=(12分)
点评:本题是一道综合性较强,难度较大的综合题目,解答中要注意运用数形结合的思想,利用解析式求交点坐标,运用轴对称知识,三角形的相似和全等以及解直角三角形的知识.解答中将图形和数值结合.
练习册系列答案
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如图,在平面直角坐标系中,直y=
3
2
x+b
与双曲线y=
16
x
相交于第一象限内的点A,AB、AC分别垂直于x轴、y轴,垂足分别为B、C,已知四边形ABCD是正方形,求直线所对应的一次函数的解析式以及它与x轴的交点E的坐标.

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(1)求乒乓球飞行路线抛物线的解析式;
(2)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,乒乓球能不能落入桶内?
(3)当竖直摆放圆柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
个时,乒乓球可以落入桶内?(直接写出满足条件的一个答案)

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已知,如图1,在平面直角坐标系内,直线l1:y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B,与直线l2y=
13
x
相交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)如图1,平行于y轴的直线x=1交直线l1于点E,交直线l2于点D,平行于y轴的直x=a交直线l1于点M,交直线l2于点N,若MN=2ED,求a的值;
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(1)求出点C的坐标;
(2)在这一运动过程中, 四边形OPEM是什么四边形?请说明理由。若
用y表示四边形OPEM的面积 ,直接写出y关于t的函数关系式及t的
范围;并求出当四边形OPEM的面积y的最大值?
(3)在整个运动过程中,是否存在某个t值,使⊿MPB为等腰三角形?
若有,请求出所有满足要求的t值.

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(1)求乒乓球飞行路线抛物线的解析式;
(2)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,乒乓球能不能落入桶内?
(3)当竖直摆放圆柱形桶______个时,乒乓球可以落入桶内?(直接写出满足条件的一个答案)

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