Question

已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer 1

解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）²﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）²﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b²﹣4a²+4c²=0，∴a²=b²+c²，∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax²+2ax=0，∴x²+x=0，解得：x₁=0，x₂=﹣1．