Question

【题目】（1）如图1，为上一点，若，，求证：．

（2）如图2，中，，为上一点，为上一点，，，，求．

（3）如图，在四边形中，，，，，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据相似三角形的判定，可证得，根据相似三角形的性质可得，再利用两边对应成比例且夹角相等这个判定就可证得；

（2）根据可以设，由，可得，根据相似的性质进而表示出BP的长，由（1）中的结论，和CB=CD可证得，进而可得，根据相似的性质即可求出答案；

（3）过点A作AD⊥AE，与DC的延长线交于E点，根据两边成比例且夹角相等可证得，根据相似的性质可得BE的长，进而得出，由勾股定理可求出DE的长，再由30°直角三角形的性质即可求出AD的长．

（1）证明：∵，，

∴，

∴，即，

又∵，

∴

∴．

（2）作于，过点作交延长线于，

∵，

∴设，，，

∵，

∴∠BPC=∠ACB=90°，

∴∠B+∠BCP=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=∠B，

∴，

∴，

∴，

∵

∴，，

由（1）得，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

（3）过点A作AD⊥AE，与DC的延长线交于E点，如图，

∵AD⊥AE，∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

∵，

∴∠ABC=∠AED=30°，

∴，，

∴,

∴，

∴，∠AEB=60°，

∴，

在△BED中，由勾股定理得，

，

∴．