Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x于点B，抛物线y=ax²-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求点C、D的纵坐标．
（2）求a、c的值．
（3）若Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（4）若Q为线段OB或线段AB上一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（-，）]．

Answer 1

解：（1）∵点C在直线AB：y=-2x+42上，且C点的横坐标为16，
∴y=-2×16+42=10，即点C的纵坐标为10；
∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为4；

（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），
∵抛物线y=ax²-2x+c经过C、D两点，
∴，
解得：a=，c=10，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+10；

（3）∵Q为线段OB上一点，纵坐标为5，
∴Q点的横坐标也为5，
∵点P在抛物线上，纵坐标为5，
∴x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8-2，
当点P的坐标为（8+2，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2+3，
当点P的坐标为（8-2，5），点Q的坐标为（5，5），线段PQ的长为2-3．
所以线段PQ的长为2+3或2-3．

（4）根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，
抛物线y=x²-2x+10=（x-8）²+2的顶点坐标为（8，2），
联立，解得点B的坐标为（14，14），
①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m＜4时，d随m的增大而减小，
在BD段，d=x-（x²-2x+10），
即d=-x²+3x-10，对称轴是x=12，
当x≥12时，d随x的增大而减小．
故当12≤m≤14时，d随m的增大而减小．
则当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；
②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m＜16时，d随m的增大而减小，
综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小．
分析：（1）点C在直线AB：y=-2x+42上，又C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，又知D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标．
（2）抛物线y=ax²-2x+c经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可．
（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长．
（4）根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，①当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围，②当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即．
点评：本题是二次函数综合题，难度不大，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．