Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，tan∠BCO=

1

4

，且S_△AOC：S_△BOC=4：1．求：此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：已知了C点的坐标，即知道了OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

解答：解：在Rt△BOC中
∵OC=4，tan∠BCO=

1

4

∴OB=1因此B点的坐标为（1，0）
∵S_△AOC：S_△BOC=4：1
∴AO：OB=4：1
∵OB=1
∴AO=4，即A点的坐标为（-4，0）
设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-1）
由于抛物线过C点的坐标（0，4），则有
4×（-1）×a=4
∴a=-1
∴抛物线的解析式为
y=-（x+4）（x-1）=-x²-3x+4．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．