Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0， ），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点：

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求经过点A，C，B的抛物线C1的函数表达式．

（3）探究“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）；（3）当P点坐标为（， ）时， 有最大值， .

【解析】试题分析：（1）把抛物线解析整理，令y=0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；

（2）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得经过点A、B、C的抛物线解析式；

（3）连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．

试题解析：解：（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，

∴当y=0时，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

则有，解得，

∴抛物线C1解析式为；

（3）如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

设直线BC解析式为y=kx+s，则有，解得，

∴ 直线BC的解析式为，

设P（x， ），则Q（x， ），

∴ PQ= ，

∴ S△PBC=PQOB=×（x2+x）×3=（x）2+，

∵＜0，

∴ 当x=时，S△PBC有最大值，S最大=，此时P点纵坐标为，

∴ 此时P点坐标为（， ）．