Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：
（1）求线段AB的长；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；
（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长；
（2）由于∠AOB=90°，由圆周角定理知AB即为⊙C的直径，根据AB的长即可求得⊙C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解；
（3）由图知：若△POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与⊙C的交点，可据此求出P点的坐标及∠BOP的度数．
解答：解：（1）∵A（0，2），B（2，0）
∴OA=2，OB=2；
Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；

（2）∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直径；
∴⊙C的半径r=2；
过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；
∵C是AB的中点，
∴CE是△AOB的中位线，
则OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）；
故⊙C的半径为2，C（，1）；

（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，交OB于D；
如图；连接OC；
由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径；
∴M（，3），N（，-1）；
在Rt△OMD中，MD=3，OD=，
∴∠BOM=60°；
∵MN是直径，
∴∠MON=90°，∠BON=30°；
由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，因此M、N均符合P点的要求；
故存在符合条件的P点：P₁（，3），∠BOP₁=60°；
P₂（，-1），∠BOP₂=30°．
点评：此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定、勾股定理的应用以及直角三角形的性质等知识，涉及知识点较多，难度适中．