Question

如图所示，在直角坐标系中，以点P（1，-1）为圆心，2为半径作⊙P，交x轴于点A、B两点，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过点A、B，且顶点C在⊙P上．
（1）求∠APB的度数；
（2）求A、B、C三点的坐标；
（3）求这条抛物线的解析式；
（4）在这条抛物线上是否存在一点D，使线段OC和PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求∠APB的度数，知道△APB是等腰三角形，且AP=BP=2，作PE⊥AB于点E，且PE=1，根据直角三角形的性质可以求出∠APB的度数．
（2）因为定点C的坐标在圆周上，直接根据图形就可以求出C的坐标．而A、B的坐标根据解直角三角形可以求出AE、BE的长度，从而求出A、B的坐标．
（3）因为三个点的坐标已经求出直接利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（4）OC和PD互相平分，所以构成的四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质就可以求出点D的坐标，将坐标代入抛物线的解析式，确定该点是否在抛物线上．

解答：解：（1）如图，过点P作直线PE⊥x轴于点E，连接AP、BP．
∴AE=BE，AP=BP=2
∵PE=1
由直角三角形性质可得：
∠APE=60°．同理，∠BPE=60°．
∴∠APB=120°．

（2）∵PE⊥AB，AP=BP=2，PE=1
由勾股定理得
∴AE=BE=

3

，
∵OE=1
∴点A、B、和顶点C的坐标分别是A(1-

3

，0)，B(1+

3

，0)，C（1，-3）．

（3）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题意得：

0=(1- 3 )2a+(1- 3 )b+c  0=(1+ 3 )2a+(1+ 3 )b+c -3=a+b+c

解得：

a=1 b=-2 c=-2

∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-2．

（4）在这条抛物线上存在一点D，
使线段OC和PD互相平分．
∵线段OC和PD互相平分，分别连接PD、PO、PC、OD，
∴四边形OPCD是平行四边形，
∴OD∥PC，且OD=PC．
∴点D在y 轴上，
∵PC=2
∴OD=2
∴点D的坐标是D（0，-2）．
∵当x=0时．抛物线y=x²-2x-2=-2，即点D（0，-2）在抛物线y=x²-2x-2上．
∴在这条抛物线上存在一点D，使线段OC和PD互相平分．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了直角三角形的性质，运用勾股定理计算线段的长度确定点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法求抛物线的解析式以及平行四边形的性质的运用．