Question

如图，两等圆⊙O₁、⊙O₂相交于A、B两点，且两圆互相过圆心，过B作任一直线，分别交⊙O₁、⊙O₂于C、D两点，连接AC、AD．
（1）试猜想△ACD的形状，并给出证明．
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？证明你的结论．
（3）若⊙O₁、⊙O₂是两个不相等的圆，半径分别为R和r，那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由．

Answer 1

分析：（1）先判断△ACD为等边三角形．连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，根据已知条件能证明∠ADB=∠ACB=60°，则△ACD为等边三角形．
（2）先判断△ACD为等腰三角形．连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，根据已知条件能证明∠ADB=∠ACB，则△ACD为等腰三角形．
（3）得出结论，不成立，此时，

AC

AD

=

R

r

，
连接CE，DF，AB，则有∠AEC=∠ADF=90°，根据圆内接四边形外角的性质得出∠ABC=∠AFD．再证明△ACE∽△ADF，根据相似三角形的性质得出

AC

AD

=

R

r

．

解答：解：（1）△ACD为等边三角形．
∵两圆是等圆，且两圆互相过圆心，如图，
连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，O₁O₂，
则AO₁=AO₂=BO₁=BO₂=O₁O₂，
∴∠AO₁B=∠AO₂B=120°，
∴∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ACD为等边三角形．

（2）△ACD为等腰三角形．
∵两圆是等圆，如图，
连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，
则AO₁=AO₂=BO₁=BO₂，∴∠AO₁B=∠AO₂B，
∴∠ADB=∠ACB；
∴△ACD为等腰三角形．

（3）不成立，此时，

AC

AD

=

R

r

，
如图，分别作⊙O₁，⊙O₂的直径AE，AF，分别交两圆于E，F两点，
连接CE，DF，AB，则∠ACE=∠ADF=90°
又∠ABC是圆内接四边形ABDF的外角，
∴∠ABC=∠AFD．
∵∠ABC=∠AEC，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠ACE=∠ADF，
∴△ACE∽△ADF，
∴

AC

AD

=

AE

AF

=

2R

2r

=

R

r

．

点评：本题考查了相交两圆的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理以及圆内接四边形的性质，是一道综合题难度较大．