分析 截取AF=AC,连接DF,作AG⊥BC,根据三角形全等的判定得出△AFD≌△ACD,得出AB的长度,从而得出AG的长度,得出tan∠ABC,再根据三角形外角和内角平分线得出∠AEB等于∠ABC,解答即可.
解答 解:在射线BA上截取AF=AC,连接DF,过点A作AG⊥BC,
∵AD为∠EAC的角平分线,
∴∠FAD=∠CAD,
在△AFD和△ACD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$,
∴△AFD≌△ACD(SAS),
∴FD=CD,∠ACD=∠AFD,
∵∠ACB=2∠B,
∴设∠B=x,则∠ACB=2x,
∴∠FAC=3x,
∴∠FAD=∠CAD=1.5x,
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x,
∴∠ADC=0.5x,
∴∠FDC=x,
∴∠B=∠FDC,
∴BF=FD=CD,
∴AB+AF=BF=AC+AB=CD,
∵CD=5,AC=2,
∴AB=3,
∵∠B=x,∠ACB=2x,
∴tanx=$\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{3}$,tan2x=$\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{2}$,
∵$tan2x=\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$,
∴$\frac{AG}{2}=\frac{2×\frac{AG}{3}}{1-(\frac{AG}{3})^{2}}$,
解得:AG=$\sqrt{3}$,
所以tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵∠ABC的平分线与∠BAC的外角平分线交于E,
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠FAD=$\frac{1}{2}$∠FAC,
∵∠FAD=∠EAB+∠AEB,∠ABC+∠ACB=∠FAC,
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$∠FAC,
即$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB),
即:$\frac{1}{2}x+∠AEB=\frac{1}{2}(x+2x)$,
解得:∠AEB=x,
所以tan∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查了三角形的外角的性质,角平分线的性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.
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A. | y2>y3>y1 | B. | y2>y1>y3 | C. | y3>y1>y2 | D. | y3>y2>y1 |
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