Question

2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的外角平分线交射线BC于点D，作∠ABC的角平分线交AD于点E．若CD=5，AC=2，则tan∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 截取AF=AC，连接DF，作AG⊥BC，根据三角形全等的判定得出△AFD≌△ACD，得出AB的长度，从而得出AG的长度，得出tan∠ABC，再根据三角形外角和内角平分线得出∠AEB等于∠ABC，解答即可．

解答 解：在射线BA上截取AF=AC，连接DF，过点A作AG⊥BC，
∵AD为∠EAC的角平分线，
∴∠FAD=∠CAD，
在△AFD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△ACD（SAS），
∴FD=CD，∠ACD=∠AFD，
∵∠ACB=2∠B，
∴设∠B=x，则∠ACB=2x，
∴∠FAC=3x，
∴∠FAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，
∴∠ADC=0.5x，
∴∠FDC=x，
∴∠B=∠FDC，
∴BF=FD=CD，
∴AB+AF=BF=AC+AB=CD，
∵CD=5，AC=2，
∴AB=3，
∵∠B=x，∠ACB=2x，
∴tanx=$\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{3}$，tan2x=$\frac{AG}{AC}=\frac{AG}{2}$，
∵$tan2x=\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$，
∴$\frac{AG}{2}=\frac{2×\frac{AG}{3}}{1-（\frac{AG}{3}）^{2}}$，
解得：AG=$\sqrt{3}$，
所以tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠ABC的平分线与∠BAC的外角平分线交于E，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠FAD=$\frac{1}{2}$∠FAC，
∵∠FAD=∠EAB+∠AEB，∠ABC+∠ACB=∠FAC，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$∠FAC，
即$\frac{1}{2}$∠ABC+∠AEB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
即：$\frac{1}{2}x+∠AEB=\frac{1}{2}（x+2x）$，
解得：∠AEB=x，
所以tan∠AEB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．