7.
实验与探究:三角点阵前n行的点数计算.
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现,10是三角点阵中前4行的点数的和,你能发现300是前多少行的点数的和吗?
如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,可以发现.
2×[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]=[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]+[n+(n-1)+(n-2)+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加,第二项相加…第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1),于是得到1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=n(n+1)这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是 n(n+1).
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有$\frac{1}{2}$n(n+1)=300整理这个方程,得:n
2+n-600=0解方程得:n
1=24,n
2=-25,根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300.请你根据上述材料回答下列问题:
(1)三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…,你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.