Question

已知：如图1，在菱形ABCD中，E是BC的中点．过点C作CG∥EA交AD于G．
（1）求证：AE=CG；
（2）取CD的中点F，连接AF交CG于H，如图2所示．求证：AH=CH；
（3）在（2）的条件下中，若∠B=60°，直接写出△AHG与△ADF的周长比．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得CB∥DA，又由CG∥EA，即可证得四边形AECG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可证得AE=CG；
（2）由四边形AECG是平行四边形，取CD的中点F，E是BC的中点，易证得△ADF≌△CDG，然后由AAS证得△AGH≌△CFH，则可得AH=CH；
（3）首先连接AC，易得△ACD是等边三角形，则可得AF⊥CD，CG⊥AD，则可证得△AGH∽△AFD，然后由相似三角形周长的比等于相似比，求得△AHG与△ADF的周长比．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB∥DA，
∵CG∥EA，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG；

（2）证明：由（1）可知，四边形AECG是平行四边形，
∴AG=CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB=CD，
∵EC=BC，
∴AG=GD=CD，
∵FC=DF=DC，
∴AG=GD=CF=DF，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF=∠DCG，
在△AGH和△CFH中，
，
∴△AGH≌△CFH（AAS），
∴AH=CH；

（3）解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠B=60°，
∵AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∵CG与AF都是△ACD的中线，
∴AF⊥CD，CG⊥AG，
∴∠AGH=∠AFD=90°，
∵∠DAF=∠HAG，
∴△AHG∽△ADF，
∵在Rt△ADF中，sin60°==，
又∵AG=AD，
∴AG：AF=：3，
∴△AHG与△ADF的周长比为：3．
点评：此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．