Question

1．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）三点．
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）设Q为x轴上任意一点，P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴左侧，满足∠QCP=45°，问是否存在这样的点P、Q，使得P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）代入抛物线的解析式得到关于a、b、c的方程组，解得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）依据两点间的距离公式求得AD、AC、DC的长，然后依据∠QCP=45°，求得直线PC的解析式，然后再求得PC与抛物线的交点坐标，从而得到点P的坐标，然后依据两边对应成比例且夹角相等两三角形形似列比例式求解即可．

解答 解：（1）由二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）三点，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）∵A（0，3）、C（3，0）、D（2，3），
∴由两点间的距离公式可知：AD=2，AC=3$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{10}$．
∵∠QCP=45°，
∴直线PC与x的夹角为45°．
∴直线PC的一次项系数为1或-1．
当直线PC的一次项系数为-1时，如图1所示：

设直线PC的解析式y=-x+b．
将点C（3，0）代入得：b=3．
∴直线PC的解析式为y=-x+3．
将y=-x+3与y=-x²+2x+3联立解得：-x+3=-x²+2x+3，解得：x₁=0，x₃=3．
∴点P的坐标为（0，3），此时点P与点A重合．
设QC=x．
∵以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{{Q}_{1}C}$或$\frac{AD}{{Q}_{2}C}=\frac{AC}{AC}$，$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{x}$或$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{x}{3\sqrt{2}}$．解得：x=9或x=2．
∴Q₁（-6，0），Q₂（1，0）．
当直线CP的一次项系数为1时，如图2所示：

设PC的解析式为y=x+b，将点（3，0）代入得：b=-3，
∴直线PC的解析式为y=x-3．
将y=x-3与y=-x²+2x+3联立得：x-3=-x²+2x+3，解得：x₁=-2，x₂=3，
∴P（-2，-5），PC=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
设CQ=x，则$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{5\sqrt{2}}$或$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{x}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$或x=15．
∴Q₃（-12，0）或Q₄（-$\frac{1}{3}$，0）．
综上所述，点Q的坐标为（-6，0）或（1，0）或（-12，0）或（-$\frac{1}{3}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数与二次函数的交点、相似三角形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．