Question

【题目】已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BD于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且∠OEB＝∠ACD．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

（2）求证：CD2＝CGCA；

（3）若⊙O的半径为，BG的长为，求tan∠CAB．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）tan∠CAB＝．

【解析】

（1）由∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD知∠OEB＝∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE＝90°，即∠OEB＋∠EBF＝90°，从而得∠ABD＋∠EBF＝90°，据此即可得证；

（2）连接AD，证△DCG∽△ACD即可得；

（3）先证△CDF∽△GCF得，再证△DCG∽△ABG得，据此知，由r＝，BG＝知AB＝2r＝5，根据tan∠CAB＝tan∠ACO＝可得答案．

（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，

∴∠OEB＝∠ABD，

∵OF⊥BD，

∴∠BFE＝90°，

∴∠OEB+∠EBF＝90°，

∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵OF⊥BD，

∴，

∴∠DAC＝∠CDB，

∵∠DCG＝∠ACD，

∴△DCG∽△ACD，

∴，

∴CD2＝ACCG；

（3）∵OA＝OB，

∴∠CAO＝∠ACO，

∵∠CDB＝∠CAO，

∴∠ACO＝∠CDB，

而∠CFD＝∠GFC，

∴△CDF∽△GCF，

∴，

又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，

∴△DCG∽△ABG，

∴，

∴，

∵r＝，BG＝，

∴AB＝2r＝5，

∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝．