Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），直线y=$\frac{3}{4}$x+12与x轴、y轴分别交于点C、B，点P是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），联结AP．
（1）求tan∠BCA的值；
（2）设tan∠PAC=t，试求线段CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ABP与△AOB相似时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线BC解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，确定出B与C坐标，得出OB与OC的长，在直角三角形BOC中，利用锐角三角函数定义求出tan∠BCA的值即可；
（2）连接AP，过P作PQ垂直于x轴，如图1所示，根据tan∠PAC=t，设出PQ与AQ，由OA+OC求出AC的长，由AC-AQ表示出CQ的长，根据tan∠BAC的值，表示出x，进而表示出PQ与CQ，利用勾股定理表示出CP即可；
（3）利用两边对应成比例且夹角相等得到三角形BOC与三角形AOB相似，利用同角的余角相等得到∠ABC为直角，如图2所示，分三种情况考虑：当△AOB∽△P₁BA，且相似比为1时；当△AOB∽△P₂BA，且相似比为1时；当△AOB∽△ABP₃时，分别求出P的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=$\frac{3}{4}$x+12，
令x=0，得到y=12；令y=0，得到x=-16，
∴B（0，12），C（-16，0），
∴OB=12，OC=16，
在Rt△BOC中，tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$；
（2）如图所示，连接AP，过P作PQ⊥x轴，

由tan∠PAC=t，设PQ=tx，则有AQ=x，
∵AC=OA+OC=9+16=25，
∴CQ=AC-AQ=25-x，
由tan∠BAC=$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{3}{4}$，得到4tx=3（25-x），
解得：x=$\frac{75}{4t+3}$，
∴PQ=tx=$\frac{75t}{4t+3}$，CQ=25-$\frac{75}{4t+3}$=$\frac{100t}{4t+3}$，
根据勾股定理得：CP=$\sqrt{P{Q}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\frac{125t}{4t+3}$；
（3）∵OB²=OA•OC，且∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠ACB，
∵∠ACB+∠CBO=90°，
∴∠ABO+∠CBO=90°，即∠ABC=90°，
如图2所示，分三种情况考虑：

当△AOB∽△P₁BA，且相似比为1时，P₁B=OA=9，作P₁Q⊥x轴，
∴CP₁=CB-P₁B=20-9=11，
∵tan∠BCA=$\frac{3}{4}$，
设P₁Q=3x，则有CQ=4x，
根据勾股定理得：CP₁=5x=11，即x=$\frac{11}{5}$，
∴P₁Q=$\frac{33}{5}$，CQ=$\frac{44}{5}$，OQ=16-$\frac{44}{5}$=$\frac{36}{5}$，
此时P₁（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）；
当△AOB∽△P₂BA，且相似比为1时，BP₂=OA=9，
同理得到P₂（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）；
当△AOB∽△ABP₃时，有$\frac{B{P}_{3}}{OB}$=$\frac{AB}{OA}$，即BP₃=$\frac{12×15}{9}$=20，
同理得到P₃（16，24），
综上，满足题意P的坐标为（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）或（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）或（16，24）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．