Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAD的平分线AE交BC于E，F，G分别是AB，AD的中点．
（1）求证：EF=EG；
（2）当AB与EC满足怎样的数量关系时，EG∥CD？并说明理由．

Answer 1

分析：1、易证得△ABD是等腰三角形，再由SAS证得△AFE≌△AGE?EF=EG．
2、若EG∥CD，则四边形GDCE为平行四边形，则应有CE=GD=

1

2

AD=

1

2

AB．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB．
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵AF=

1

2

AB，AG=

1

2

AD，
∴AF=AG．
又∵∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE．
∴EF=EG．

（2）解：当AB=2EC时，EG∥CD，
证明：∵AB=2EC，
∴AD=2EC．
∴GD=

1

2

AD=EC．
又∵GD∥EC，
∴四边形GECD是平行四边形．
∴EG∥CD．

点评：【命题意图】逻辑证明是中考必考题．一般会以全等，相似，或是特殊四边形这样的证明步骤在十步左右的．本题考查全等及平行四边形判定及性质．测试时学生完成情况有点眼高手低．