Question

【题目】如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．

（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；

（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是　 　（直接写出结论，不必证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OC＝OM﹣ON，理由见解析.

【解析】

（1）作∠OCG＝60°，交OA于G，可得△OCG是等边三角形，得再证明△OCN≌△GCM（ASA）问题可解；

（2）仿照（1）中的解法．问题可解

（1）证明：如图

作∠OCG＝60°，交OA于G，

∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，

∴∠CON＝∠COG＝60°，

∴∠OCG＝∠COG，

∴OC＝CG，

∴△OCG是等边三角形，

∴OC＝OG，∠CGM＝60°＝∠CON，

∵∠MCN＝∠OCG＝60°，

∴∠OCN＝∠GCM，

在△OCN和△GCM中，

，

∴△OCN≌△GCM（ASA），

∴ON＝GM，

∵OG＝OM+GM，

∴OC＝OM+ON；

（2）解：OC＝OM﹣ON，理由如下：

如图：

作∠OCG＝60°，交OA于G，：

∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，

∴∠CON＝∠COG＝60°，

∴∠CON＝120°，∠OCG＝∠COG，

∴OC＝CG，

∴△OCG是等边三角形，

∴OC＝OG，∠CGO＝60°，

∴∠CGM＝120°＝∠CON，

∵∠MCN＝∠OCG＝60°，

∴∠OCN＝∠GCM，

在△OCN和△GCM中，

，

∴△OCN≌△GCM（ASA），

∴ON＝GM，

∵OG＝OM﹣GM，

∴OC＝OM﹣ON；

故答案为：OC＝OM﹣ON