Question

如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．
（1）请你写出一对相似三角形，并加以证明；
（2）当点P满足什么条件时，PD=3PQ，请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形推出∠B=∠C=∠QPD=90°，求出∠DPC=∠PQB，证△BPQ和△CDP相似即可；
（2）根据相似得到比例式，把PD=3PQ代入求出即可．

解答：解：（1）△BPQ∽△CDP，
证明：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠QPD=90°，
∴∠QPB+∠BQP=90°，
∠QPB+∠DPC=90°，
∴∠DPC=∠PQB，
∴△BPQ∽△CDP．

（2）P为BC的三等分点时，PD=3PQ．
证明：∵△BPQ∽△CDP
∴

PQ

PD

=

BP

CD

，
要使PD=3PQ，即

PQ

PD

=

BP

CD

=

1

3

∴BP=

1

3

CD
即P为BC的三等分点时，PD=3PQ．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能求出△BPQ∽△CDP是解此题的关键．