Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,证明题,数形结合

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，AM=DM，易证得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE=CD=AB；
（2）由BM平分∠ABC，易证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，

∠E=∠DCM ∠AME=∠DMC AM=DM

，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，
∴AE=AB；

（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
∵AB=AE，AM=DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC=2AM，
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．