Question

17．如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
（1）求证：DE-BF=EF；
（2）将图①中△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离；
（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）本题的关键是求△ADE和ABF全等，以此来得出DE=AF=AE+EF=BE+EF，这两个三角形中已知的条件有AD=BA，一组直角，关键是再找出一组对应角相等，可通过证明∠DAF和∠ABF来实现，
（2）由（1）得到BF=AE，AF=DE，由旋转得，AF=AF′，BF=DF′，判断出四边形AEDF′是矩形即可；
（3）方法同（1）还是说明△ADE和△ABF全等，得出DE=AF，BF=AE，只不过本题的结论是DE+BF=EF．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF．
（2）解：如图①，

理由如下：
由（1）有，BF=AE，AF=DE，
由旋转得，AF=AF′，BF=DF′，
∴AE=DF′，DE=AF′，
∴四边形AEDF′是平行四边形，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴四边形AEDF′是矩形，
∴EF′=AD=3．
（3）解：如图②，

∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=ADE}\\{∠AFB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴EF=AE+AF=BF+DE．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和垂直的意义，全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似．