【题目】如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(﹣1,0),B(0,3),O(0,0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到△A′B′O.
⑴如图,一抛物线经过点A,B,B′,求该抛物线解析式;
⑵设点P是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P(,);S最大=.
【解析】
(1)利用旋转的性质得出A′(-0,1),B′(3,0),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;(2)设P点坐标为(m,n),连接OP、PB、PB′,结合(1)中求出的关系式,根据四边形PBAB′的面积=S△ABO+S△POB+S△POB′即可得到答案.
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O旋转90°得到的,
∴B′(3,0).
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A(-1,0)、B′(3,0)、B(0,3),
∴ ,
解得:a=-1;b=2;c=3;
∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)设P点坐标为(m,n),连接OP、PB、PB′,
∵P在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴n=-m2+2m+3,
∵四边形PBAB′的面积=S△ABO+S△POB+S△POB′
∴S四边形PBAB′= OAOB+ OBm+ OB′n
=+m+(-m2+2m+3)
=-(m-)2+
∴当m=时,S四边形PBAB′有最大值,
∵m=时,n=,
∴P点坐标为(,).
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【题目】如图,中,,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①作的平分线交于点;
②作边的垂直平分线,与相交于点;
③连接,.
请你观察图形解答下列问题:
(1)线段,,之间的数量关系是________;
(2)若,求的度数.
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【题目】如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 ▲ .
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a﹣b<0;③b2>(a+c)2;④点(﹣3,y1),(1,y2)都在抛物线上,则有y1>y2.其中正确的结论有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为( )
A. B. 2 C. D. 3
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【题目】如图,有、、三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
B.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
C.在AC、BC两边高线的交点处
D.在AC、BC两边中线的交点处
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【题目】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 ;
(3)根据(2)中的结论,若x+y=7,xy=,则x﹣y= ;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3,写出一个因式分解的等式 .
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【题目】甲、乙、丙三个盒子中分别装有除颜色外都相同的小球,甲盒中装有两个球,分别为一个红球和一个绿球;乙盒中装有三个球,分别为两个绿球和一个红球;丙盒中装有两个球,分别为一个红球和一个绿球,从三个盒子中各随机取出一个小球
(1)请画树状图,列举所有可能出现的结果
(2)请直接写出事件“取出至少一个红球”的概率.
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【题目】(2016·赤峰)为有效开发海洋资源,保护海洋权益,我国对南海诸岛进行了全面调查.如图,一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°方向,C岛在北偏东15°方向,航行100海里到达B岛,在B岛测得C岛在北偏东45°,求B,C两岛及A,C两岛的距离.(结果保留到整数, ≈1.41, ≈2.45)
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