Question

【题目】在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=8cm，sinA= ，求⊙O的半径的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC．

又DE⊥AC，

∴DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切线

（2）解：⊙O与AC相切于F点，如图2，连接OF，

则：OF⊥AC．

在Rt△OAF中，sinA= ，

∴OA= OF，

又AB=OA+OB=8，

∴ OF+OF=8，

∴OF=3cm．

【解析】（1）根据切线的判定定理，只需连接OD，证明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，两条直线平行就可证明；（2）根据切线的性质定理，连接过切点的半径，运用锐角三角函数的定义，用半径表示OA的长，再根据AB的长列方程求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．