分析 (1)根据矩形性质推出AD∥BC,根据平行线的性质得出∠PDO=∠QBO,根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO,根据全等三角形的性质推出OP=OQ,则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”;
(2)①由线段间的和差关系来求PD的长度;
②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形,求出DP=BP即可.
解答 解:(1)∵证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠PDO=∠QBO,
∵O为BD中点,
∴OB=OD,
在△PDO和△QBO中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OB=OD}\\{∠POD=∠BOQ}\end{array}\right.$,
∴△PDO≌△QBO(ASA),
∴OP=OQ.
又∵OB=OD,
∴四边形PBQD是平行四边形;
(2)依题意得,AP=tcm,则PD=(6-t) cm.
当四边形PBQD是菱形时,有PB=PD=(6-t) cm.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°.
在Rt△ABP中,AP2+AB2=BP2,AB=4
∴t2+42=(6-t)2
解得$t=\frac{5}{3}$,
所以运动的时间为$\frac{5}{3}s$时,四边形PBQD是菱形.
∴此时菱形的周长为$({6-\frac{5}{3}})×4=\frac{52}{3}$(cm).
点评 本题考查了矩形的性质,全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,题目比较好,综合性比较强.
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A. | $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=1$ | B. | $\sqrt{{{(-5)}^2}}=-5$ | C. | $({1+\sqrt{2}})({1-\sqrt{2}})=-1$ | D. | $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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