Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：

①2a+b＝0；

②4a+2b+c＞0；

③对任意实数x，ax2+bx≥a+b；

④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；

⑤使△ABC为等腰三角形的a值可以有3个．

其中正确的结论有_____．（填序号）

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴AB＝4，

∴对称轴x＝﹣＝1，

即2a+b＝0；

故①正确，符合题意；

②由图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，

故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为直线x＝1，函数在x＝1时，取得最小值，

故ax2+bx+c≥a+b+c，

即ax2+bx≥a+b正确，符合题意；

④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；

D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．

当x＝1时，y＝a+b+c，

即|a+b+c|＝2，

∵当x＝1时，y＜0，

∴a+b+c＝﹣2，

又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，

∴当x＝﹣1时y＝0，即a﹣b+c＝0；

当x＝3时，y＝0．

∴9a+3b+c＝0，

解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣，

故④正确，符合题意；

⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，

当AB＝BC＝4时，

∵AO＝1，△BOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣9＝7，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＝﹣，

与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；

同理当AB＝AC＝4时，

∵AO＝1，△AOC为直角三角形，

又∵OC的长即为|c|，

∴c2＝16﹣1＝15，

∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，

∴c＝﹣，

与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；

同理当AC＝BC时

在△AOC中，AC2＝1+c2，

在△BOC中BC2＝c2+9，

∵AC＝BC，

∴1+c2＝c2+9，此方程无解．

经解方程组可知只有两个a值满足条件．

故⑤错误．

故答案为：①③④．