Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点B是x轴上一动点，以线段AB为一边，在其一边做等边三角形ABC，且点C在第一象限，当B运动到原点O处时，记此时的C点位置为点D．
（1）求点D坐标；
（2）求证：当点B在x轴上运动（B不与O重合），∠ADC为定值；
（3）当C点关于AB的对称点E在坐标轴上时，请求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意，过点C作CE⊥y轴于点E，根据等边三角形的性质，即可求出OE和CE的长，进而得到点D坐标；
（2）根据△ABC和△AOD都是等边三角形，得出△ABO≌△ACD（SAS），进而得出∠ADC=∠AOB=90°即可；
（3）分两种情况讨论：点E在y轴上，点E在x轴上，分别根据等边三角形的性质进行计算，即可求得OE的长，进而得出点E的坐标．

解答 （1）解：如图所示，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵A（0，2），△ABC为等边三角形，
∴当B运动到原点O处时，AB=OA=2=BC，∠CBA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=1，CE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
即点D坐标为（$\sqrt{3}$，1）；

（2）证明：如图所示，当点B在x轴上运动（B不与O重合）时，

∵△ABC和△AOD都是等边三角形，
∴∠BAC=∠OAD=60°，BA=CA，OA=DA，
∴∠BAO=∠CAD，
在△ABO和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAO=∠CAD}\\{OA=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACD（SAS），
∴∠ADC=∠AOB=90°，
∴当点B在x轴上运动（B不与O重合），∠ADC为定值；

（3）分两种情况进行讨论：
①如图所示，当C点关于AB的对称点E在y轴上时，连接BE，则△ABE≌△ABC，

∴△ABE是等边三角形，
∵BO⊥AE，A（0，2），
∴AO=EO=2，
∴E（0，-2）；
②如图所示，当C点关于AB的对称点E在x轴上时，连接AE，则△ABE≌△ABC，

∴△ABE是等边三角形，
∵BO⊥AO，A（0，2），
∴AO=2，∠EAO=30°，
∴OE=$\frac{AO}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
∴E（-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，0）．

点评 本题属于几何变换综合题，主要主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是画出符合题意的图形进行判断分析，解题时注意分类思想的运用．注意等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．