Question

已知抛物线y=a（x-t）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，点B与点A关于原点对称．
（1）求点B的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）若直线y=2x经过点A，抛物线y=a（x-t）²+t² 经过点B，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的基础上，点C是抛物线对称轴上的一点，问是否存在点C，使得△ABC等腰三角形？若能，求出点C的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数解析式即可得出A点的坐标，然后根据中心对称的性质求得B点的坐标；
（2）把A点的坐标代入直线y=2x中得t的值，把B点 的坐标代入y=a（x-t）²+t² 中得a=-

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，即可得出抛物线的解析式；
（3）先求得A、B的坐标，设出C点的坐标为（2，m），分两种情况讨论即可求得．

解答：解：（1）∵抛物线y=a（x-t）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，
∴A（t，t²），
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（-t，-t²）．

（2）∵直线y=2x经过点A，
∴t²=2t，
解得：t=2，t=0（舍去）
∵抛物线y=a（x-t）²+t² 经过点B，
∴-2t²=a（-t-t）²+t²，
解得：a=-

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，
∴抛物线的解析式为y=-

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（x-2）²+4；

（3）存在；
如图，∵抛物线的解析式为y=-

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（x-2）²+4，
∴A（2，4），B（-2，-4）
设C（2，m），
当AC=BC时，
则（4-m）²=（2+2）²+（-4-m）²，
解得：m=-1，
∴C₁（2，-1），
当AB=AC时，
则（4-m）²=（2+2）²+（4+4）²，
解得：m=4+4

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或m=4-4

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，
∴C₂（2，4-4

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），C₃（2，4+4

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），
∴存在点C，使得△ABC等腰三角形，点C坐标为C₁（2，-1），C₂（2，4-4

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），C₃（2，4+4

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）．

点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．