Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；

（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值为-.

【解析】

（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；

（2）分类讨论三角形相似情况即可；

（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，1）的圆E在第二象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．

解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交点为A，

∴点A的坐标为（﹣3，0），

∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，

∴点C的坐标为（1，0），

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，

∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，

∴点D的坐标为（﹣1，0），

①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；

②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．

过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD．

于是＝＝＝，

∴PG＝3GD．

即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），

解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）．

当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，

所以此时点P的坐标为（﹣2，3）．

综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；

（3）存在，CQ的最小值为﹣，

如图，取点F（﹣1，1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，）为圆心．

∵tan∠AFD＝2，

∴圆弧AFD（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．

连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，

此时CE＝＝，⊙E半径为，

∴CQ最小值为﹣．

故答案为：（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ的最小值为-.