Question

【题目】二次函数与轴交于、两点，，与直线交于、两点，点在轴上，．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上有一点，若的面积为，求点的横坐标；

（3）点在第四象限的抛物线上运动，连接，与直线交于点，连接，．设的面积为，的面积为，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的横坐标为，，或7；（3）的最小值为．

【解析】

（1）先求出n的值，然后把点D、E代入二次函数，即可求出二次函数的解析式；

（2）先求出点A的坐标，然后得到直线AE的解析式和AE的长度，然后求出的高PF的长度，作直线AE的平行线，使得平行线之间的距离为，分别求出两条直线，联合抛物线的解析式，即可求出点P的坐标；

（3）先求出直线AF的解析式，联合直线BE得到点Q的横坐标，过点Q作QM⊥x轴，作FN⊥x轴，则有QM∥FN，得到AM和MN的值，由平行线分线段成比例，则，结合二次函数的性质，即可得到答案．

解：（1）把点E代入直线，则

，

∴点E为（6，7），

把点，E（6，7）代入，

∴，

解得：，

∴二次函数的解析式为：；

（2）∵，

令，

∴，，

∴点A为（，0），

∵点E为（6，7），

∴AE=，

∴直线AE为：；

∵点P在抛物线上，且的面积为，

∴，

∴；

如图，作直线AE的平行线，使得平行线之间的距离为，

∵，

∴∠EAD=45°，

∴△CGH和△GIJ是等腰直角三角形，

∴GI=GC=8；

∵直线AE为，

∴直线CP为；直线为；

联合方程组，得

，，

解得：，，，；

∴点P的横坐标为，，或7；

（3）∵点F在抛物线上，则

设点F为（t，），

∵点A为（，0），

设直线AF为，则

，

即，

∵点F在第四象限，则，

∴，

∴直线AF为；

∵直线BE为，

则，解得：，

∴点Q的横坐标为；

如图，过点Q作QM⊥x轴，作FN⊥x轴，则有QM∥FN，

∴，

∵点M为（，0），点N为（t，0），

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴当时，有最大值9，则此时有最小值；

∴的最小值为．