Question

已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

Answer 1

（1）延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可。
（2）作辅助线，推出BM、ME是两条中位线。
（3）作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME

分析：（1）如图1，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可。
（2）如图2，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线。
（3）如图3，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME。
解：（1）证明：
如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD。
∴点B为线段AD的中点。
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线。
∴BM∥CF。
（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点。
∴BM=DF。
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a。
∴点E为FG中点，又点M为AF中点。
∴ME=AG。
∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a。
∴BM=ME=。
（3）证明：如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD。
∴点B为AD中点。
又点M为AF中点，∴BM=DF。
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG。
∴点E为FG中点。
又点M为AF中点，∴ME=AG。
在△ACG与△DCF中，∵，
∴△ACG≌△DCF（SAS）。
∴DF=AG，∴BM=ME。