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16.先仔细阅读材料,再尝试解决问题:
通过对实数的学习,我们知道x2≥0,根据完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,所以完全平方公式的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以这样处理:
解:原式=2(x2+4x)-3
=2(x2+2x•2+23-22)-3
=2(x+2)2-11
∵2(x+2)2≥0
∴2(x+2)2-11≥0-11,且x=-2时,2(x+2)2-11的值最小,为-11
请根据上面的解题思路,解答下列问题:
(1)求多项式3x2-6x+2的最小值是多少,并写出对应的x的值;
(2)多项式4-x2+2x的最大值;
(3)求多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值.

分析 (1)先把给出的式子化成完全平方的形式,再根据非负数的性质即可得出答案;
(2)根据完全平方公式把给出的式子进行整理,即可得出答案;
(3)根据完全平方公式把给出的式子进行整理,即可得出答案.

解答 解:(1)3x2-6x+2
=3(x2-2x)+2
=3(x2-2x+1-1)+2
=3(x-1)2-1,
∵无论x取什么数,都有(x-1)2的值为非负数,
∴(x-1)2的最小值为0,此时x=1,
∴3(x-1)2-1的最小值为-1;
则当x=1时,原多项式的最小值是-1;
(2)同(1)得:4-x2+2x=-(x-1)2+5,
∵无论x取什么数,都有(x-1)2的值为非负数,
∴(x-1)2的最小值为0,此时x=1,
∴-(x-1)2+5的最大值为:-0+5=5,
则当x=1时,原多项式的最大值是5.
(3)同(1)得:x2+2x+y2-4y+9=(x+1)2+(y-2)2+4,
当(x+1)2=0,(y-2)2=0时,多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值为4.

点评 此题考查了配方法的应用,用到的知识点是完全平方公式,非负数的性质,解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式.

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