Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=4，求△OEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】

（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形进行证明；

（2）作OF⊥BC于F，根据矩形的性质得出BF=FC，由三角形中位线定理求出OF的长，由角的平分线的定义与∠ADC=90°求出EC的长，最后根据三角形面积公式进行求解．

（1）证明：∵，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：作OF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=4，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴BF=FC，

∴OF是△BDC的中位线，

∴OF=CD=2，

∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，

∴∠EDC=45°，

∴在Rt△EDC中，EC=CD=4，

∴△OEC的面积．