Question

【题目】已知△ABC是边长为6的等边三角形．将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°θ180°）得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

（1）如图1，当0°θ60°时，∠BOC的度数是否变化？若不变，求出∠BOC的度数；若变化，直接写出∠BOC的度数的变化范围；

（2）在旋转过程中，当△BDE是直角三角形时，求BD的长；

（3）在θ从60°到120°的旋转过程中，直接写出点O运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）不变， （2） ；（3）

【解析】

（1）先证明△ABD≌△ACE，然后根据角的代换可得出∠BOC=120°；

（2）先推出∠BDA=30°，根据AB=AD=6，得出∠ABD=30°，作AM⊥BD于M，在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°，即可得出答；

（3）如图，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K．证明∠AOC＝120°，推出点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°，即可得出答案．

解：（1）∵AD=AE，AB=AC，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠AEC=∠ADB，

∵∠ADO+∠ADB=180°，

∴∠ADO+∠AEC=180°，

∴∠DAE+∠BOC=180°，

∵∠DAE=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BOC的度数不变，∠BOC=120°；

（2）∵△BDE是直角三角形，

∴∠BDE=90°，

∵∠BDA+∠ADE=90°，∠ADE=60°，

∴∠BDA=30°，

∵AB=AD=6，

∴∠ABD=30°，

作AM⊥BD于M，

在△ABM中，∠ABM=30°，AB=6，∠BMA=90°，

∴BM=，

∴BD=6；

（3）如图中，AD交AE于J．设△ABC的外接圆的圆心为K，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ODJ＝∠AEJ，

∵∠AJE＝∠OJD，

∴∠EAJ＝∠JOD＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴点O的运动轨迹是K为圆心，KC半径的圆弧，圆心角为60°，

∴当θ从60°到120°的旋转过程中，KC=·=，

=．