Question

8．中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！
（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5$\sqrt{2}$，FC=2时，求EF的长度；
（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；
（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；
（2）先设等边三角形边长为2a，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；
（3）先延长FD至G，使得FD=FG，连接EG，BG，过E作EH⊥BG于点H，根据△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，进而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根据ED垂直平分FG，即可得出EF的长度．

解答 解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点
∴AD⊥BC，AD=$\frac{1}{2}$BC=CD=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，∠DAE=∠C=45°
∴AC=$\sqrt{2}$CD=5
又∵∠EDF=90°，FC=2
∴∠ADE=∠CDF，AF=5-2=3
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠C}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF=2
∴在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$
（2）设等边三角形边长为2a，则BD=CD=a，
∵等边三角形ABC中，DF∥AB
∴∠FDC=∠B=60°
∵∠EDF=90°
∴∠BDE=30°
∴DE⊥BE
∴BE=$\sqrt{\frac{1}{2}}$a，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=$\frac{1}{2}$EF=FM
∵∠FDC=∠FCD=60°
∴△CDF是等边三角形
∴CD=CF=a
∴CM垂直平分DF
∴∠DCN=30°
∴Rt△CDN中，DN=$\frac{1}{2}$a，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DF=a
∴在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a
∵M为EF的中点
∴FM=DM=$\frac{\sqrt{7}}{4}$a
∴Rt△MND中，MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{4}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$a
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{4}\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$a
∴3ED=2MC；
（3）如图3，延长FD至G，使得FD=DG，连接EG，BG，则ED垂直平分FG，故EF=EG
∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF
∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8
∴∠EBG=60°+60°=120°
∴∠EBH=60°
过E作EH⊥BG于点H，则BH=$\frac{1}{2}$BE=3
∴Rt△BEH中，HE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
∴Rt△EHG中，EG=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+（3+0.8）^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{259}$
∴EF的长度为$\frac{2}{5}\sqrt{259}$

点评 本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定等．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．