Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm点P从A开始沿AB边向B以3cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD是平行四边形？
（2）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么，t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

Answer 1

【答案】分析：（1）表面问四边形APQD是平等四边形，实质为AP=DQ．容易得AP=3t，DQ=8-t，列方程3t=8-t即解；
（2）关键理解：什么情况下⊙P和⊙Q外切？⊙P和⊙Q外切就是PQ=AD根据题意有两种可能：?APQD、等腰梯形APQD．?APQD就是AP=DQ等腰梯形APQD就是PB=CQ．分别列方程可解
解答：解：（1）∵DQ∥AP，
∴当AP=DQ时，四边形APQD是平行四边形．此时，3t=8-t．解得t=2（s）．即当t为2s时，四边形APQD是平行四边形．

（2）∵⊙P和⊙Q的半径都是2cm，
∴当PQ=4cm时，⊙P和⊙Q外切．而当PQ=4cm时，如果PQ∥AD，那么四边形APQD是平行四边形．
①当四边形APQD是平行四边形时，由（1）得t=2（s）．
②当四边形APQD是等腰梯形时，∠A=∠APQ．
∵在等腰梯形ABCD中，∠A=∠B，
∴∠APQ=∠B．
∴PQ∥BC．
∴四边形PBCQ平行四边形．此时，CQ=PB．
∴t=12-3t．解得t=3（s）．
综上，当t为2s或3s时，⊙P和⊙Q相切．
点评：此题考查平行四边形性质及等腰梯形性质的理解及运用．