Question

二次函数y=ax²+bx+3，与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，P是二次函数上一点，∠PAB=∠ACB．求P点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由A、B两点的坐标可求得二次函数解析式，可求得C的坐标，首先求出tan∠ACB=

1

2

，进而得出过A（1，0）的直线为y=±

1

2

（x-1），将两函数联立求出交点坐标即可．

解答：解：∵二次函数交x轴于A（1，0），B（3，0），
∴代入解析式可得

a+b+3=0 9a+3b+3=0

，解得

a=1 b=-4

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3，
则C（0，3）．
延长CA，并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点，
∵∠CAO=∠BAE，
∠COA=∠BEA，
∴△COA∽△BEA，
∴

CA

BA

=

CO

BE

=

OA

EA

，
根据勾股定理，CA=

10

，
则EA=

10

5

，EB=

6

10

=

3 10

5

，
tan∠ACB=

BE

AC+AE

=

1

2

，
∵∠APB=∠ACB，
则tan∠APB=

1

2

，
令过A（1，0）的直线为y=k（x-1），
∵∠PAB=∠ACB，
故k=±tan∠ACB=±

1

2

，
故：y=±

1

2

（x-1），
分别与y=x²-4x+3联立得：

1

2

（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=

7

2

，
∴y₁=0，y₂=-

3

4

，
-

1

2

（x-1）=x²-4x+3，
解得：x₁=1，x₂=

5

2

，
∴y₁=0，y₂=

5

4

，
∵A点坐标为：（1，0），
所以：P（

7

2

，-

3

4

）或P（

5

2

，

5

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及两函数交点坐标求法和相似三角形的判定与性质等知识，得出过点A符合要求的直线解析式是解题关键．