Question

【题目】△ABC在平面直角坐标系内如图1摆放，A、C两点的横坐标都是5，BC∥x轴．已知B点坐标为(－3，m)，AB交y轴于点D，且AC＝BC.

(1) 填空：BC＝_____；△ABC的面积为______；用m表示点A的坐标为______.

(2) 射线BO交直线AC于点Q，若△ABQ的面积为16，试求m的值

(3) 如图2，点D在y轴负半轴上，∠BAC的三等分线AP与∠BOD的角平分线OP交于点P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，试求∠BOD的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m= 或m= （3）40°<∠BOD<45°.

【解析】

（1）根据A、C点横坐标为5，说明AC⊥x轴，根据与x轴，y轴平行的直线上点坐标特征确定点A坐标，再根据面积公式求解；

（2）通过证明三角形相似，利用其性质表示出Q点的坐标，再根据面积公式列方程求解；

（3）设∠BOP=∠POD=α，利用外角等于不相邻两个内角和及已知角的关系将∠P和∠B用α表示，根据题意列不等式求α的解集，再结合外角大于任何一个不相邻的内角确定∠BOD的范围.

解：（1）∵A、C点横坐标为5，B点坐标为(－3，m),

∴BC=5-(-3)=8,

∵BC∥x轴,

∴∠ACB=90°

∵AC＝BC

∴S△ABC=

∵B (－3，m), BC=AC=8,

∴A(5,m+8)；

（2）如图，过B作BH⊥x轴，垂足为H,AC与x轴交于点G,

∴∠BHO=∠QGO=90°, ∠HOB=∠GOQ,

∴△HOB∽△GOQ,

∴ ,

∴,

∴QG=,

∴Q的坐标为 ，

∴AQ的长度为 ，

∵△ABQ的面积为16,

∴，

解得：m= 或m= .

（3）如图，AP与y轴交于点N,点M在y轴上，

∵OP是∠BOD的角平分线，

∴∠BOP=∠POD，

∵∠ACB=90°，AC=BC,

∴∠BAC=∠ABC=45°,

∵∠BAC＝3∠BAP＝45°

∴∠BAP=15°, ∠CAP=30°,

∵OM∥AC,

∴BDM=∠BAC=45°, ∠PNM=∠PAC=30°,

设∠BOP=∠POD=α,

∵∠BDM=∠B+∠BOD,

∴∠B=∠BDM-∠BOD=45°-2α,

∵∠PNM=∠POM+∠P,

∴∠P=∠PNM-∠POM=30°-α,

∵∠P>2∠B,

∴30°-α>2(45°-2α)

解得，α>20°

∴∠BOD>40°

∵∠BDM >∠BOD,

∴∠BOD<45°

∴40°<∠BOD<45°.