分析 （1）将A、B点的坐标代入抛物线的解析式，即可得出a、b值，再将抛物线解析式变成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）利用相似三角形的性质，用m表示出FD的长度，再由点到直线的距离公式，用m表示出点E到直线AD的距离，由三角形的面积公式即能变成出△DEF的面积，配方即可得到极值，利用面积取极值时的m的值，找出E点坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求出此时点E到BD的距离；
（3）①利用三角形的两边之和大于第三边，可以找到使得MA+MC的值最小时的点M的位置，求两直线的交点即可得出M点坐标；②利用三角形的两边之差小于第三边，可以找到使丨NA-NC丨的值最大时点N的位置，求两直线的交点即可得出N点坐标．
解答 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）过点A（-1，0），B（4，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{a-b-2=0}\\{16a+4b-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．
∵y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）按照题意，作出图形1，如下，
设AEAE的长为m，则E点坐标为（m-1，0）．
∵A（-1，0），B（4，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴AB=5，AD=BD=$\frac{5\sqrt{41}}{8}$．
∵EF∥BD，
∴∠AFE=∠ADB，∠AEF=∠ABD，
∴△AEF∽△ABD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，AF=$\frac{\sqrt{41}}{8}$m，FD=AD-AF=$\frac{\sqrt{41}}{8}$（5-m）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）在直线AD上，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-\frac{25}{8}=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{5}{4}$，即$\frac{5}{4}$x+y+$\frac{5}{4}$=0．
点E到直线AD的距离h=$\frac{|\frac{5}{4}（m-1）+\frac{5}{4}|}{\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$m，
△DEF的面积=$\frac{1}{2}$•FD•h=-$\frac{5}{16}$m2+$\frac{25}{16}$m=-$\frac{5}{16}$${（m-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{125}{64}$，
当m=$\frac{5}{2}$时，△DEF的面积最大，最大值为$\frac{125}{64}$．
设直线BD的解析式为y=k1x+b1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=4{k}_{1}+{b}_{1}}\\{\frac{25}{8}=\frac{3}{2}{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{5}{4}}\\{{b}_{1}=-5}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式y=$\frac{5}{4}$x-5，即$\frac{5}{4}$x-y-5=0，
∵点E坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
∴点E到BD的距离为$\frac{|\frac{5}{4}×\frac{3}{2}-5|}{\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{25\sqrt{41}}{82}$．
（3）①连接BC，作抛物线对称轴交BC于点M，连接MA，如图2，
由抛物线的对称性可知，MA=MB，
MA+MC=MB+MC=BC，
∵当M点在对称轴上移动时（不在BC上），有MB+MC＞BA（三角形两边之和大于第三边），
∴当点M在BC上时，MA+MC=BC最小．
将x=0代入抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2中，得y=-2，
即点C坐标为（0，-2）．
设直线BC的解析式为y=k3x-2，
将点B（4，0）代入，得0=4k3-2，解得k3=$\frac{1}{2}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
由（1）可知抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
即使得MA+MC的值最小的M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
②连接AC，并延长AC交抛物线对称轴于点N，如图3，
∵当N点在对称轴上移动时（不在直线AC上），有|NA-NC|＜AC（三角形两边之差小于第三边），
∴当点N在直线AC上时，|NA-NC|=AC最大．
∵点C（0，-2），
∴设直线AC的解析式为y=k4x-2，
将点A（-1，0）代入，得0=-k4-2，解得k4=-2，
即直线AC的解析式为y=-2x-2．
抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{x=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
即使丨NA-NC丨的值最大的N的坐标为（$\frac{3}{2}$，-5）．
点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）将点的坐标代入，解二元一次方程即可；（2）利用三角形相似的性质以及点到直线的距离，可以用含m的代数式表示出来面积，解极值问题即可；（3）牢记三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
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| A． |
| B． |
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| C． |
| D． |
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已知抛物线y=ax2+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$（a≠0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点．经过第三象限中的定点D．查看答案和解析>>
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如图，正方形ABCD的面积是（ ）
如图，△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，M是DB中点，求证：CM⊥AE．