Question

（1）如图1，若⊙O₁与⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁与⊙O₂外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．
（2）如图2，若⊙O₁与⊙O₂外离，BC是⊙O₁与⊙O₂的外公切线，B、C为切点，连心线O₁O₂分别交⊙O₁、⊙O₂于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直？证明你的结论．
（3）如图3，若⊙O₁与⊙O₂相交，BC是⊙O₁与⊙O₂的公切线，B、C为切点，连心线O₁O₂分别交⊙O₁、⊙O₂于M、N，Q是线段MN上一点，连接BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接O₁A，O₂C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
∵∠O₁AB=∠O₁BA=

1

2

（180°-∠O₁）=90°-

1

2

∠O₁=90°-∠ABC，
∴∠ABC=

1

2

∠O₁，
同理：∠ACB=

1

2

∠O₂，
∴∠ABC+∠ACB=

1

2

（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC；

（2）BP⊥CP．
证明：如图2，连接O₁B，O₂C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∠O₁BM=∠O₁MB=

1

2

（180°-∠O₁）=90°-

1

2

∠O₁=90°-∠PBC，
∴∠PBC=

1

2

∠O₁，
同理：∠PCB=

1

2

∠O₂，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠O₁+∠O₂）=90°，
∴∠BPC=90°，
∴BP⊥CP；

（3）BQ与CQ不垂直．
证明：如图3，连接O₁B，O₂C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O₁BC=∠O₂CB=90°，
∴O₁B∥O₂C，
∴∠O₁+∠O₂=180°．
∵O₁B＞O₁Q，
∴∠O₁QB＞∠O₁BQ，
同理：∠O₂QC＞∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞∠O₁BQ+∠O₂CQ，
∴∠O₁QB+∠O₂QC＞90°，
∴∠BQC＜90°
∴BQ与CQ不垂直．