Question

如图，点F为正方形ABCD的边CD的中点，E为BC上一点，M为EF上一点，且D、M关于AF对称，B、M关于AE对称，∠CFE的平分线交AE的延长线于G，交BC于N，连CG，下列结论：①△AFG为等腰直角三角形；②CG=2

2

CN；③S_△CEF=S_△ABE，其中正确的有（　　）

A．只有①

B．只有②

C．①②

D．①②③

Answer 1

分析：①连接AM．先由D、M关于AF对称，根据轴对称的性质得出△ADF≌△AMF，DM⊥AF，再根据四边形内角和定理，角平分线的性质，余角的性质得到∠EFG=∠FMD，则DM∥FG，由AF⊥DM，得到FG⊥AF，然后证明∠EAF=45°，从而得到△AFG为等腰直角三角形，判断①正确；
②连接AC．由∠AGF=∠ACF=45°，得到A、G、C、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠ACG=∠AFG=90°，∠CAG=∠CFG，由两角对应相等的两三角形相似得出△CAG∽△CFN，则CG：CN=CA：CF，设正方形ABCD边长为2a，用含a的代数式分别表示CF，AC，从而得出CG=2

2

CN，判断②正确；
③设正方形ABCD边长为2a，BE=ME=x，在△CEF中由勾股定理得到EF²=CE²+CF²，即（a+x）²=（2a-x）²+a²，求出x=

2

3

a，再根据三角形的面积公式即可得到S_△CEF=S_△ABE，判断③正确．

解答：解：①连接AM．
∵D、M关于AF对称，
∴△ADF≌△AMF，DM⊥AF，
∴∠FAD=∠FAM=

1

2

∠DAM，∠ADF=∠AMF=90°，
∴∠DAM+∠DFM=360°-∠ADF-∠AMF=180°，
∵∠CFE+∠DFM=180°，
∴∠CFE=∠DAM．
∵∠EFG=∠CFG=

1

2

∠CFE，
∴∠EFG=∠FAM，
∵∠FAM=∠FMD=90°-∠AFM，
∴∠EFG=∠FMD，
∴DM∥FG，
∵AF⊥DM，
∴FG⊥AF．
∵B、M关于AE对称，
∴△ABE≌△AME，
∴∠BAE=∠MAE=

1

2

∠BAM，
∴∠MAE+∠FAM=

1

2

∠BAM+

1

2

∠DAM=45°，即∠EAF=45°，
∴△AFG为等腰直角三角形，故①正确；
②连接AC．
∵∠AGF=∠ACF=45°，
∴A、G、C、F四点共圆，
∴∠ACG=∠AFG=90°，∠CAG=∠CFG．
在△CAG与△CFN中，

∠ACG=∠FCN=90° ∠CAG=∠CFN

，
∴△CAG∽△CFN，
∴CG：CN=CA：CF．
设正方形ABCD边长为2a，那么CF=a，AC=2

2

a，
∴CG：CN=2

2

a：a=2

2

，
∴CG=2

2

CN，故②正确；
③设正方形ABCD边长为2a，BE=ME=x，则CF=DF=MF=a，CE=2a-x，
在△CEF中，∵∠ECF=90°，
∴EF²=CE²+CF²，
∴（a+x）²=（2a-x）²+a²，
整理，得4a²-6ax=0，
∵a≠0，
∴x=

2

3

a，
∴CE=2a-

2

3

a=

4

3

a．
∵S_△CEF=

1

2

CE•CF=

1

2

•

4

3

a•a=

2

3

a²，
S_△ABE=

1

2

BE•AB=

1

2

•

2

3

a•2a=

2

3

a²，
∴S_△CEF=S_△ABE，故③正确．
故选D．

点评：本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．