Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与端点重合），过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：△DCP是等腰三角形；

（2）若OA＝6，∠CBA＝30°．

①当OE＝EB时，求DC的长；

②当的长为多少时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）①4②当的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形

【解析】

（1）连接OC，如图1，利用切线的性质得∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°，然后证明∠DPC=∠BCD得到DP=DC，可得结论；

（2）①如图1，连接AC，先计算BC和PB的长，可得PC的长，再证明△PCD为等边三角形，则②先证明△OAC为等边三角形得到∠BOC=120°，连接OF，AC，再利用F是弧BC的中点得到∠BOF=∠COF=60°，则△AOF与△COF均为等边三角形，从而得到AF=AO=OC=CF，于是可判断四边形OACF为菱形，根据弧长公式可得的长.

（1）证明：连接OC，如图1，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD＝90°，

即∠OCB+∠BCD＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵PE⊥AB，

∴∠B+∠BPE＝90°，

而∠BPE＝∠DPC，

∴∠OCB+∠DPC＝90°，

∴∠DPC＝∠BCD，

∴DC＝DP，

∴△DCP是等腰三角形；

（2）解：①如图1，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，AB＝2AO＝12，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴AC＝AB＝6，

BC＝6，

Rt△PEB中，∵OE＝BE＝3，∠ABC＝30°，

∴PE＝，PB＝2，

∴CP＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，

∵∠DCP＝∠CPD＝∠EPB＝60°，

∴△PCD为等边三角形，

∴CD＝PC＝4；

②当F是弧BC的中点，即弧FB所对的圆周角为60°时，此时的长：＝2π，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形；

理由如下：如图2，连接OF，AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CBA＝30°，

∴∠A＝60°，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠BOC＝120°，

当F是弧BC的中点时，∠BOF＝∠COF＝60°，

∴△AOF与△COF均为等边三角形，

∴OB＝OC＝CF＝BF，

∴四边形OCFB为菱形，

则当的长为2π时，以点B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．