分析 (1)对于直线y=$\frac{1}{2}$x-2,分别令x与y为0求出y与x的值,确定出E与F坐标,根据四边形ABCD为矩形,得到对边相等,求出BC的长,即为C纵坐标,代入直线解析式求出C横坐标,即可确定出B坐标;
(2)由B与E的横坐标之差求出EB的长,四边形AECD面积=矩形ABCD面积-三角形ECB面积,求出即可;
(3)在y轴上存在一点P,使△PEF为等腰三角形,如图所示,分三种情况考虑:若P1F=EF;若EF=P2F;若P3F=P3E;分别求出P的坐标即可.
解答 解:(1)对于直线y=$\frac{1}{2}$x-2,
令x=0,得到y=-2;令y=0,得到x=4,
∴E(4,0),F(0,-2),
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD=3,DC=AB=9,
把y=3代入直线y=$\frac{1}{2}$x-2,得:x=10,即B(10,0);
(2)∵E(4,0),B(10,0),
∴EB=10-4=6,
∴S四边形AECD=S矩形ABCD-S△ECB=9×3-$\frac{1}{2}$×6×3=27-9=18;
(3)存在,如图所示,分三种情况考虑:
若P1F=EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∴OP1=OF+P1F=2+2$\sqrt{5}$,
此时P1(0,-2-2$\sqrt{5}$);
若EF=P2F=2$\sqrt{5}$,
∴OP2=P2F-OF=2$\sqrt{5}$-2,
此时P2(0,2$\sqrt{5}$-2);
若P3F=P3E,此时P3在线段EF垂直平分线上,
线段EF垂直平分线为y+1=-2(x-2),即y=-2x+3,
令x=0,得到y=3,此时P3(0,3),
综上,在y轴上存在一点P,使△PEF为等腰三角形,此时P的坐标为(0,-2-2$\sqrt{5}$)或(0,2$\sqrt{5}$-2)或(0,3).
点评 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:坐标与图形性质,一次函数与坐标轴的交点,矩形的性质,等腰三角形的性质,以及线段垂直平分线性质,熟练掌握性质是解本题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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