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已知:如图,矩形ABCD中AB=4,AD=12,点P是线段AD上的一动点(点P不与点A,D重合),点Q是直线CD上的一点,且PQ⊥BP,连接BQ,设AP=x,DQ=y
(1)求证:△ABP∽△DPQ.
(2)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)并求出当y取何值,△ABP∽△PBQ.
(4)若点Q在DC的延长线上,则x的取值范围
 
.(不必写出过程).
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分析:(1)根据四边形ABCD是矩形和PQ⊥BP,利用两组对应角相等即可求证△ABP∽△DPQ.
(2)根据△ABP∽△DPQ.利用其对应边成比例,将已知数值代入即可得出y与x的函数关系式.根据(点P不与点A,D重合),即可求出自变量x的取值范围.
(3)假设△ABP∽△PBQ.利用其对应边成比例,解得x的值,然后将x的值代入y=3x-
x2
4
即可.
(4)根据Q在DC的延长线上可知y>4,即3x-
1
4
x2
>4,解此方程即可得出则x的取值范围.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠ABP+∠APB=90°,∠PQD+∠QPD=90°,
∵PQ⊥BP,
∴∠DPQ+∠APB=90°
∴∠APB=∠PQD,
∴△ABP∽△DPQ;

(2)∵△ABP∽△DPQ.
AP
DQ
=
AB
PD

∵AB=4,AD=12
x
y
=
4
12-x
,即y=3x-
x2
4

∵AP与AD不重合,
∴0<x<12;
答:y与x的函数关系式为:y=3x-
x2
4

自变量x的取值范围是:0<x<12;

(3)假设△ABP∽△PBQ,
AP
QP
=
AB
BP
,即
x2
y2+(12-x)
=
16
x2+16

将y=3x-
x2
4
代入上式,解得x=6.
将x=6代入y=3x-
x2
4
,解得y=9.
答:当y=9时.△ABP∽△PBQ;

(4)∵Q在DC的延长线上,
∴y>4,即3x-
1
4
x2
>4,
解此方程得6-2
5
<x<6+2
5

故答案为:6-2
5
<x<6+2
5
点评:此题涉及到相似三角形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理,函数等多个知识点的理解和掌握,综合性很强,难度较大,尤其是解此方程
x2
y2+(12-x)
=
16
x2+16
,总之此题是一道难题.
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12
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