Question

5．如图，AE为⊙O的直径，D为$\widehat{AB}$的中点，过E点的切线交AD的延长线于F．
（1）求证：∠AEB=2∠F；
（2）若AD=2，DF=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接ED，根据直径所对的圆周角为直角得：∠ADE=90°，∠A+∠AED=90°，由切线的性质得：∠AEF=90°，∠A+∠F=90°，所以∠AED=∠F，根据弧的中点和同弧所对的圆周角相等得：∠AED=∠BED，从而得出结论；
（2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，先根据相似求直径AE=2$\sqrt{3}$，则半径为$\sqrt{3}$，在直角△AOG和直角△ADG中利用勾股定理列方程可求得结论．

解答 证明：（1）如图1，连接ED，
∵D为$\widehat{AB}$的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠AED=∠BED，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∵EF为⊙O的切线，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠A+∠F=90°，
∴∠AED=∠F，
∵∠AEB=∠AED+∠BED=2∠AED，
∴∠AEB=2∠F；
（2）如图2，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠AEF=90°，
∴△ADE∽△AEF，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AE}{AF}$，
∵AD=2，DF=4，
∴$\frac{2}{AE}=\frac{AE}{2+4}$，
∴AE=±2$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴AO=$\sqrt{3}$，
连接AB、OD，AB、OD交于点G，
∵D为$\widehat{AB}$的中点，
∴OD⊥AB，
∴AG=BG，
∵AO=OE，
∴OG=$\frac{1}{2}$BE，
设OG=x，则GD=$\sqrt{3}$-x，
由勾股定理得：AO²-OG²=AD²-GD²，
则$（\sqrt{3}）^{2}-{x}^{2}={2}^{2}-（\sqrt{3}-x）^{2}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=2OG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线的性质、垂径定理及圆有关的圆心角、圆周角与弧的性质，难度适中；本题利用弧的中点与圆心的连线，根据垂径定理得出相应的结论，并构建以直径为边的三角形，根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，从而得出结论．