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如图在平面直角坐标系中,菱形AOBC的顶点C在y轴上,双曲线y=
k
x
恰好经过顶点A,且对角线AB=8,OC=6

(1)求双曲线的解析式;
(2)若点E(-
4
3
,a)在线段AC上,P为线段OC上一点,过P点的直线PE交AO的延长线于点F,且OF=CE,求点P的坐标;
(3)在第四象限的双曲线上,是否存在一点M,使S△AMC=2S△AOC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据菱形的性质可得到A点坐标为(-4,3),然后利用待定系数法确定反比例函数的解析式;
(2)作EH⊥y轴于H,FQ⊥y轴于Q,先利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=
4
3
x+6,则可得到E点坐标为(-
4
3
,5),则CH=1,EH=
4
3
,然后证明Rt△CEH≌Rt△OFQ,则CH=OQ=1,EH=EQ=
4
3
,所以F点坐标为(
4
3
,-1),接着先利用待定系数法确定直线EF的解析式为y=-
9
4
x+2,于是可得到P点坐标;
(3)由于S△AMC=2S△AOC,而OC=6,把直线AC向下平移12个单位,得直线l,则l的解析式为y=
4
3
x-6,所以直线l与反比例函数的交点坐标为M点,然后解方程组
y=
3
4
x-6
y=-
12
x
可确定M点坐标.
解答:解:(1)∵四边形AOBC为菱形,
∴AB与OC互相垂直平分,
∴AD=
1
2
AB=4,OD=
1
2
OC=3
∵而C在y轴上,
∴A点坐标为(-4,3),
把A(-4,3)代入y=
k
x
得k=-4×3=-12,
∴双曲线的解析式为y=-
12
x


(2)作EH⊥y轴于H,FQ⊥y轴于Q,如图2,
设直线AC的解析式为y=mx+n,
把A(-4,3)和C(0,6)代入得
-4m+n=3
n=6
,解得
m=
3
4
n=6

∴直线AC的解析式为y=
4
3
x+6,
把点E(-
4
3
,a)代入a=
4
3
×(-
3
4
)+6=5,
∴E点坐标为(-
4
3
,5),
∴CH=1,EH=
4
3

∵四边形AOBC为菱形,
∴∠ACO=∠AOC,
而∠AOC=∠QOF,
∴∠AOC=∠QOF,
∵CE=OF,
∴Rt△CEH≌Rt△OFQ,
∴CH=OQ=1,EH=EQ=
4
3

∴F点坐标为(
4
3
,-1),
设直线EF的解析式为y=ax+b,
把E点(-
4
3
,5)、F(
4
3
,-1)代入得
-
4
3
a+b=5
4
3
m+n=-1
,解得
a=-
9
4
b=2

∴直线EF的解析式为y=-
9
4
x+2,
令x=0,则y=2,
∴P点坐标为(0,2);

(3)存在.
∵S△AMC=2S△AOC
而OC=6,
把直线AC向下平移12个单位,得直线l,则l的解析式为y=
4
3
x-6,
∴直线l与反比例函数的交点坐标为M点,
解方程组
y=
3
4
x-6
y=-
12
x
x=4
y=-3

∴M点坐标为(4,-3).
点评:本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式;熟练运用菱形的性质和解析式法确定直线交点坐标.
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21、如图在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(2,0),O(0,0),B(0,4).
①△AOC与△AOB关于x轴成轴对称,则C点坐标为
(0,-4)

②将△AOB绕AB的中点D逆时针旋转90°得△EGF,则点A的对应点E的坐标为
(3,3)

③在图中画出△AOC和△EGF,△AOB与△EGF重叠的面积为
1
平方单位.

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(1)求点B的坐标;
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(3)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°到达△AB′C′的位置,请写出点B′坐标
(1,-1)
(1,-1)
,点C′坐标
(2,1)
(2,1)
;判断点B′
,C′
(填“在”或“不”)在(2)中的抛物线上.

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如图在平面直角坐标系中,M为x轴上一点,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴于C、D两点,P为
BC
上的一个动点,CQ平分∠PCD交AP于Q,A(-1,0),M(1,0).
(1)求C点坐标;
(2)当点P在
BC
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(3)当点P在
BC
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