在平面直角坐标系内.A.B分别为y轴和x轴上的点.坐标为A.且满足a2+b2-8a-8b+32=0．(1)请判断△ABO的形状,的条件下.如图1.延长AB至D点.以BD为斜边向下做等腰Rt△BCD.DC延长线交y轴于E点．点M为AD中点.连接MC.MO.OC.试判断△OMC的形状.并说明理由,的条件下.如图2.将等腰Rt△BCD绕点B逆时针旋转一个角度α.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在平面直角坐标系内，A、B分别为y轴和x轴上的点，坐标为A（0，a），B（b，0），且满足a²+b²-8a-8b+32=0．
（1）请判断△ABO的形状；
（2）在（1）的条件下，如图1，延长AB至D点（AB＞BD），以BD为斜边向下做等腰Rt△BCD，DC延长线交y轴于E点．点M为AD中点，连接MC、MO、OC，试判断△OMC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图2，将等腰Rt△BCD绕点B逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜45°），连接AD，记AD中点为M，再连接MC、MO、OC，试判断△OMC的形状，并说明理由．

分析（1）由a²+b²-8a-8b+32=0，可得（a-4）²+（b-4）²=0，根据非负数的性质求出a、b即可解决问题．
（2）如图1中，连接EM．首先证明四边形OBCE是矩形，△AED是等腰直角三角形，由△MOE≌△MCD，推出OM=MC，∠OME=∠CMD，推出∠OMC=∠EMD=90°，即可证明．
（3）延长CM到H使得MH=CM，连接OH、AH、AC、HD，DC的延长线交y轴于E．想办法证明△OAH≌△OBC，即可解决问题．

解答解：（1）∵a²+b²-8a-8b+32=0，
∴（a-4）²+（b-4）²=0，
∵∴（a-4）²≥0，（b-4）²≥0，
∴a+b=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，∵∠AOB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形．

（2）结论：△OMC是等腰直角三角形．理由如下：
如图1中，连接EM．

∵△AOB，△BDC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠ADE=45°，∠ABO=∠CBD=45°
∴EA=ED，∠AED=∠OBC=∠BCE=90°，
∴四边形OBCE是矩形，
∴OE=BC=CD，
∵AM=DM，
∴EM=MD，∠OEM=45°=∠D，EM⊥AD，∠EMD=90°，
在△MOE和△MCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=MD}\\{∠OEM=∠D}\\{OE=CD}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△MCD，
∴OM=MC，∠OME=∠CMD，
∴∠OMC=∠EMD=90°，
∴△OMC是等腰直角三角形．

（3）如图2中，结论：△OMC是等腰直角三角形．理由如下：
延长CM到H使得MH=CM，连接OH、AH、AC、HD，DC的延长线交y轴于E．

∵AM=MD，MH=MC，
∴四边形ACDH是平行四边形，
∴AH=CD=BC，AH∥DE，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=360°-∠EOB-∠BCE=180°，∠1+∠HAO=180°，
∴∠HAO=∠OBC，
在△OAH和△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAH=∠OBC}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△OAH≌△OBC，
∴OH=OC，∠AOH=∠BOC，
∴∠HOC=∠AOB=90°，
∵HM=MC，
∴OM⊥CH，OM=MC=MH，
∴△OMC是等腰直角三角形．

点评本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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