Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（2，0）且与直线y=-

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x+3相交于B、C两点，点B在x轴上，点C在y轴上．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如果P（x，y）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
（3）是否存在这样的点P，使PO=AO？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定直线y=-

3

4

x+3与x轴的交点B的坐标为（4，0），与y轴的交点C的坐标为（0，3），然后利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到S=

1

2

×2×y=y，然后利用y=-

3

4

x+3的函数关系用x表示S即可；
（3）先利用勾股定理计算出BC，再利用面积法求出O点到BC的距离OD=2.5，则点P到O点的最短距离为2.5，所以不存在点P，使PO=AO=2．

解答：解：（1）直线y=-

3

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x+3与x轴的交点B的坐标为（4，0），与y轴的交点C的坐标为（0，3），
把A（2，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y=ax²+bx+c

4a+2b+c=0 16a+4b+c=0 c=3

，
解得

a= 3 8 b=- 9 4 c=3

，
所以二次函数的解析式为y=

3

8

x²-

9

4

x+3；

（2）S=

1

2

×2×y
=-

3

4

x+3（0≤x≤4）；

（3）不存在．理由如下：
作OD⊥BC，如图，
∵B（4，0）、C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
∴BC=

42+32

=5，
∴OD=

OB•OC

BC

=

3×4

5

=2.5，
∴点P到O点的最短距离为2.5，
∴不存在点P，使PO=AO=2．

点评：本题考查了二次函数的综合题：常用待定系数法求二次函数的解析式；会求直线与坐标轴的交点坐标和运用勾股定理进行几何计算．