Question

如图1，已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE·CE=12，求k的值．
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的条件下，EF=，AB=2，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．

Answer 1

（1）解：设OE=a，则A（a，﹣a+m）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a2+am， 由一次函数解析式可得C（2m，0）， ∴CE=2m﹣a， ∴OE·CE=a（2m﹣a）=﹣a2+2am=12， ∴k=（﹣a2+2am）=×12=6； （2）证明：连接AF、BE， 过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB， ∴FM∥EN， ∵AE⊥x轴，BF⊥y轴， ∴AE⊥BF， S△AEF=AE·OE=， S△BEF=BF·OF=， ∴S△AEF=S△BEF， ∴FM=EN， ∴四边形EFMN是矩形， ∴EF∥CD； （3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=， ∴CD=4， 由直线解析式可得OD=m，OC=2m， ∴OD=4，又EF∥CD， ∴OE=2OF， ∴OF=1，0E=2， ∴DF=3， ∴AE=DF=3， ∵AB=2， ∴AP=， ∴EP=1， ∴P（3，0）．