分析 (1)如图1,连接AD,由△ABC是等边三角形,得到∠B=∠C=60°,∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,根据已知条件得到$\frac{PD}{DE}=\frac{AD}{DF}$=2,推出△APD∽△EDF,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(2)如图2,连接AD,过P作PM⊥BC于M,设PE=$\sqrt{19}$k,EF=2k,于是得到AP=2EF=4k,求出AB=8+4k,解直角三角形得到PD=$\frac{2\sqrt{19}k}{\sqrt{3}}$,根据勾股定理列方程得到EF=$\frac{3}{2}$,CD=$\frac{11}{2}$,DF=$\frac{11}{4}$$\sqrt{3}$,根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{CK}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{3}{4}$,$\frac{EF}{DK}=\frac{HF}{DH}$,代入数据即可得到结论.
解答 (1)证明:如图1,连接AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∵DF⊥AC,
∴AD=2DF,∠ADF=60°,
∵∠PDE=∠B=60°,
∴∠ADP=∠EDF,
∵∠PED=90°,
∴PD=2DE,
∴$\frac{PD}{DE}=\frac{AD}{DF}$=2,
∴△APD∽△EDF,
∴$\frac{AP}{EF}=\frac{AD}{DF}$=2,
∴AP=2EF;
(2)如图2,连接AD,过P作PM⊥BC于M,
∵PB=8,∴BM=4,PM=4$\sqrt{3}$,
∵PE:EF=$\sqrt{19}$:2,设PE=$\sqrt{19}$k,EF=2k,∴AP=2EF=4k,
∴AB=8+4k,
∴BD=CD=4+2k,
在Rt△PDE中,
∵∠DPE=30°,∠PED=90°,
∴PD=$\frac{2\sqrt{19}k}{\sqrt{3}}$,
∴DM2=PD2-PM2,
∵DM=BD-BM,
∴($\frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}}$k)2-(2$\sqrt{3}$)2=(4+2k-4)2,
∴k=$\frac{3}{4}$,
∴EF=$\frac{3}{2}$,CD=$\frac{11}{2}$,∴DF=$\frac{11}{4}$$\sqrt{3}$,
∵△APD∽△EDF,
∴∠EFD=∠PAD=30°,
∴∠EFD=∠FDC,
∴EF∥CD,
∴△AEF∽△AKC,
∴$\frac{EF}{CK}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{3}{4}$,
∴CK=2,
∴DK=$\frac{7}{2}$,
∵EF∥CD,
∴△HEF∽△DKH,
∴$\frac{EF}{DK}=\frac{HF}{DH}$,
∴$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}=\frac{\frac{11\sqrt{3}}{4}-DH}{DH}$,
∴DH=$\frac{77\sqrt{3}}{40}$.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形的性质,勾股定理,平行线的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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年份 | 2014 | 2015 | 2016 |
人数 | 300 | 500 | 800 |
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A. | m<$\frac{1}{3}$ | B. | m<-$\frac{1}{3}$ | C. | m>$\frac{1}{3}$ | D. | m>-$\frac{1}{3}$ |
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